Var är robotarna?

Ibland är det skönt att komma hem. Hem till sin egen säng, sin egen kudde och katternas försiktiga tramp på täcket. Men det kan också vara skönt att komma hem till sin egen undervisningskultur.

Efter flera dagar på BETT-mässan i London, där jag bl.a. ledde några guidade turer åt andra medlemmar på DIU’s resa, återkom jag med blandade intryck. Jag visste redan innan jag åkte att det var ett kommersens tempel jag skulle beträda, men det var också en brittisk mässa, med allt som det innebär.

Jag är själv brittisk medborgare, även om jag är född och uppvuxen i Sverige, och har bott där i perioder av mitt liv. Det som jag alltid upplevt som den subtila, men fundamentala skillnaden mellan våra båda kulturer är i relationerna mellan motsatserna. Det är i alla fall min upplevelse att vi i Sverige försöker samarbete mellan gränser. Lärare och elever, anställda och arbetsgivare, föräldrar och barn samarbetar för att uppnå det gemensamma goda. Det är klart det finns undantag, men jag upplever ändå att det finns en grundläggande vilja att sträva åt det hållet här. Inte så i England. Omedelbart som barnet kommer hem från BB finns en strävan att fjärma sig det, ge det ett eget rum, i bästa fall skicka det till internatskola. Väl i skolsystemet är formalia som skoluniform och titlar viktigare än den äkta respekten som duktiga lärare trots allt kan få, men som många aldrig når till på grund av de inneboende motsättningarna mellan dessa båda poler. I arbetslivet är det mycket tydligt ven som är chef och vem som är anställd. Mellanchefer heter managers, ditsatta för att hantera, manage, personalen eftersom den inte antas kunna sköta sig själv utan att riskera jobbet. Låt oss inte gå in på överklass och underklass här, men tro mig, dessa motsättningar mellan olika nivåer genomsyrar deras undermedvetna.

Det här kommer till uttryck även i BETT-mässan givetvis. Jag är väldigt glad att vi inte behöver fundera på att köpa in digital behaviour management tools till våra skolor i Sverige för att med olika poängsystem kontrollera våra elevers beteenden. På samma sätt är jag glad att våra plattformar i alla fall ibland försöker göra det möjligt att publicera innehåll till alla i hela världen, och inte som de engelska, skryter med hur nedlåsta (isolationistiska?) och säkra de är.

På sitt sätt påminde BETT mig om den årliga marknaden i Norrtälje med stånd där godis, leksaker och skämtartiklar bjuds ut, ofta flera gånger av olika stånd, men till samma pris. Jag saknade eftertanken, att faktiskt fundera på vad man vill genomföra och åstadkomma, innan alla rusar till försäljarna för att pröva de senaste VR-glasögonen, arduino-kopiorna och programmerbara robotarna. Hur gör vi något på riktigt och på ett kostnadseffektivt sätt som gagnar eleverna under lång tid framöver?

p1190090

Microsoft Maker Space – Förverkliga din idé med hjälp av ett rum där du kan arbeta med både programmering och limpistol. Men hur mycket kostar det i längden att ha ett resurscenter utan klar bild av hur det ska användas på ett hållbart sätt. Det gäller att tänka till först.

Jag saknade också en del saker. Eftersom mässan är kommersiell och gratis för besökare får företagen betala stora summor för att stå där. Då filtreras vissa aktörer bort, t.ex. GeoGebra, som håller på att transformera matematikundervisningen helt gratis i över 200 länder. Sedan önskar jag att utvecklingen går snabbare. Mitt tema på guidningarna var robotar i alla former. De finns som bilar, humanoider och drönare, javisst, men var är krabborna, bina och myrorna? Var är nanorobotarna, och programvaran som klarar av att låta oss styra svärmar av robotar för att t.ex. städa skolans korridorer eller utforska grottor som är för små att gå in i själv? Och var är 3D-skrivarna som gör fungerande kretskort eller färdiga myrrobotar? Mycket av det här är inte science fiction längre utan existerar i olika experimentella modeller på universitet, men det behöver plockas upp av företagen som jobbar mot skolor och privatpersoner.

Jag behöver myrrobotar till att göra ren min astroturfmatta i hallen. Nu!

Nordisk fältkurs för lärare på Svalbard

img_1338Nyligen hemkommen från en spännande och intensiv vecka på en plats där ”vägarna saknar namn” är jag något omtumlad, men också full av energi och inspiration. Jag har deltagit i en nordisk kurs för lärare om klimatforskning i polara landskap, ett ämnesområde som i sig är mycket aktuellt och intressant. Att fältveckan i kursen sedan var förlagd 78O N i Longyearbyen på Svalbard, gjorde inte saken sämre.

img_3598

Longyearbyen, där skotrarna väntar på snön

Kursen är en distanskurs som i slutänden ger 10 studiepoäng och anordnas av Nordic Esero i samarbete med Rymdstyrelsen, Skolverket och Nord Universitetet i Norge. Det är ett samarbete mellan de nordiska länderna för att vidareutveckla och stärka undervisningen i naturvetenskap och teknik.

Vi var 24 kursdeltagare från Finland, Danmark, Norge och Sverige, som samlades för en fullspäckad vecka. Alla lärare i grundskolan eller gymnasiet och i huvudsak undervisande i naturvetenskapliga ämnen. Syftet med kursen är förutom fördjupade kunskaper i klimatforskning även att utveckla våra digitala färdigheter med geografiska informations- och positionssystem, GIS och GPS, tolkning av satellitbilder och användande av digital mätutrustning. Även att stimulera till utbyte av våra lärarerfarenheter för att vi sedan ska kunna utveckla den egna undervisningen.

petermikael-genomgangx

adventx

 

 

 

 

Upplägget på veckan var blandat med engagerade föreläsningar av klimatforskare, praktiska övningar, samt spännande fältexkursioner. Innan fältveckan hade vi alla förberett oss på hemmaplan med olika uppgifter, så att vi nu var väl förberedda att testa de digitala verktygen i praktiken.

Den första fältdagen var temat permafrost och digitala mätningar. Exkursionen gick till Adventdalen där djupet ner till permafrostlagret mättes upp till ca 1 meter under markytan. En av uppgifterna där var att med datalogger ta olika väderdata samt mäta temperaturen var 20 cm ner till permafrostlagret.

Av säkerhetsskäl var det viktigt att gruppen hela tiden höll ihop. En isbjörnshona med unge hade vi också iakttagit på andra sidan av viken, på väg ut till undersökningsplatsen.

permafrost-naddx

matning-pagar

 

 

 

 

Det gäller att nå ända ner till permafrostlagret          Olika väderdata samlas in

En annan uppgift på kursen var att studera olika landskapsformer. Att undersöka vad som kan ses i satellitbilder, positionera platser med GPS och sedan jämföra med hur det ser ut i verkligheten. I det här fallet undersökte vi polygonformationer, som är typiskt regelbundna formationer och kan uppstå i områden med permafrost.

polygonlandskap-satellitbildpolygonmark

 

 

 

Samma plats i verkligheten

Satellitbild med GPS markeringar

Ett annat genomgående tema var Svalbards geologi och spåren efter den tektoniska resa som ögruppen har gjort. I Bolterdalen en bit upp från nuvarande havsnivån, studerades i en bäckravin marina sedimentavlagringar med inbakade fossila skal av musslor. Tydliga spår från tiden för den senaste istiden. Ovanför detta syntes också de snedställda avlagringarna från senare avsatta älvflöden och deltabildningar. På ravinens botten kunde vi även se ett fossilt skelettben från en bardval, vilket var daterat till knappt 10 000 år.

img_3681

Gamla havssediment av lera med fossila musselskal, samt snedställda älvsediment ovanför

 img_3753

Vandring upp för Longyearbreen

En av dagarna vandrade vi upp och undersökte glaciären Longyarbreens utbredning och förändringar i det över tid. Vi fick även tillfälle att vid glaciärens tidigare utbredning leta efter växtfossiler som härstammade ifrån Tertiärperioden, för ca 65 miljoner år sedan. Svalbard låg då på ungefär samma breddgrader som nu, men klimatet var varmare och det växte stora områden med lövskog här. Klart fascinerande att vandra runt vid glaciärens fot och hitta rester ifrån gamla lövträd.

 img_3758img_3738

 

 

 

                                                  Fossilletning nedanför Longyerbreen

En av utmaningarna med kursen var att vi kom från olika nordiska länder och det gemensamma språket just var det nordiska. Det var främst både roligt och nyttigt, men ibland också svårt att förstå danskan och norskan samt att göra sig själv förstådd. Under veckans gång blev det dock allt lättare och flöt på till slut. Vi var också många som satt uppe sent på kvällarna med efterarbeten och i fördjupande diskussioner. Det gavs därmed många tillfällen till att uppfylla kursens mål att stimulera till nordiskt utbyte och till didaktiska diskussioner.

funken-kvallsjobbx

Kvällsarbete

Flera av kursdeltagarna gjorde också som jag och stannade kvar en extra dag för att upptäcka mer utav Svalbard på egen hand.

 img_3794

Med hundspann i Adventdalen

Guldäpplet 2016

Webbknapp2016_418x101

 

 

Två av Rodengymnasiets lärare har oberoende av varandra nominerats till Guldäpplet, En utmärkelse som bland annat Datorn i utbildningen samt lärarfacken står bakom. Priset delas ut till lärare som förnyat undervisningen med stöd av IT, arbetar inkluderande och bidragit till kollegernas kompetensutveckling genom att dela med sig av sina idéer och erfarenheter.

Jonas Hall

Jonas Hall är förstelärare i matematik, fysik och astronomi. Han är en av Sveriges ledande experter på GeoGebra och har förutom flera artiklar i Nämnaren skrivit en bok om matematisk modellering med GeoGebra som även översatts till engelska.

Vem är du och vad jobbar du med?
Jag är en produkt av vår tids lyckosamma giftermål mellan matematik och digital teknik. Jag vill ge eleverna de verktyg som de behöver ha för att kunna hantera vår moderna matematiska värld och därigenom ta sig längre än vad de annars skulle kunna göra utan tillgång till digitala verktyg. Vi arbetar så gott som dagligen i GeoGebra som är ett matematiskt laboratorium för dynamiska interaktiva undersökningar. Det är ett program som används i över 200 länder och är översatt till över 50 språk. Jag är själv ansvarig för den svenska supporten.

På vilket sätt kan elevernas lärande förnyas med hjälp av IT?
Genom att låta datorerna ta hand om det de är bra på – beräkningar och visualiseringar – så frigörs tid så att eleverna kan gå djupare och längre i matematiken. Det är dessutom orimligt att undervisa utan digitala hjälpmedel i dag om man vill ha ett klassrum synkroniserat med samtiden. Visualiseringar, filmer och simuleringar av matematiska modeller utgör en stark bas att bygga förståelse ifrån.

Hur ser du på din lärarroll och hur inkluderar du alla elever i ditt lärande med IT?
Genom att använda flera verktyg än bara lärobok och lärare får eleverna fler ingångar till matematiken. Genom att själv använda fler verktyg kan jag lyssna på eleverna på fler sätt och få mer nyanserad kunskap om elevernas behov. Genom verktygen blir också matematiken modern och intressant vilket får eleverna att bli aktivare.

IMG_1258

Jonas Gustafsson är förstelärare i samhällskunskap och företagsekonomi. Han är Microsoft Innovative Educator Expert och har representerat Roden-gymnasiet i internationella sammanhang. Under 2015 deltog han på Educator Exchange, E2, i Seattle USA.

Vem är du och vad jobbar du med?
Jag är en nyfiken person som ivrigt engagerar mig i olika aktiviteter. Tennis, löpträning, båtliv och skärgård ligger mig varmt om hjärtat. Jag är gymnasielärare i samhällskunskap och företagsekonomi och när eleverna och jag får göra lärandet tillsammans mår jag som allra bäst. Det är underbart att vara lärare! En av mina arbetsuppgifter som förstelärare är att i kollegahandledning utveckla IKT-baserad undervisning med hjälp av Microsofts Office 365. Sedan hösten 2014 har jag ingått i lärarnätverket Microsoft Innovative Educator Expert.

På vilket sätt kan elevernas lärande förnyas med hjälp av IT?
IT är basen för att samla information som vi kan koka ner till kunskaper. Vi är uppdaterade med både det dagsaktuella och det som ligger bakåt i tiden. Vi kan jämföra källorna och se vad som har hänt. Det ger oss möjlighet att också finna vägen till framtiden. Vi blir Up to future!

Hur ser du på din lärarroll och hur inkluderar du alla elever i ditt lärande med IT?
Eftersom jag arbetar mycket med att eleverna ska vara varandras lärare – sharing is caring – behövs det en smidig plattform som ger alla elever tillgång till transparens. Med OneNote ser de elever som behöver extra anpassningar många exempel på vägen mot målen. Den har medfört att eleverna har blivit mer involverade i upplägg, genomförande och utvärderingar av kurserna. Eleverna har utvecklat sin digitala kompetens under åren i så hög grad att de till slut blir mina medlärare för att organisera, leda och följa upp olika lektionspass. Microsofts OneNote Class Notebook gör att vi kan dela med oss av varandras uppgifter och är enkel att använda tillsammans med andra applikationer. Det är som om hela världen blir vårt klassrum!

Webbknapp2016_418x101

Hittelön: Digitalt provverktyg för professionella lärare sökes

Kära Skolverket,

Ni ska ju snart göra det möjligt att skriva nationella prov digitalt. Jag har då lite förslag jag skulle vilja dela med mig av.

Om ni ändå ska göra ett verktyg där det är möjligt att hantera digitala prov i såväl matematik som andra ämnen så ber jag er först och främst att göra det möjligt för oss att använda verktyget för våra egna prov också. Jag skulle gärna vilja se ett system liknande Socrative, Fronters provmodul, Google Forms eller Microsoft Office 365 Forms men som faktiskt fungerar hela vägen. Om ni skulle kunna utveckla ett sådant verktyg skulle ni underlätta vardagen för lärarna enormt. Här kommer en kravspecifikation från mig. Om det är någon som känner till ett existerande verktyg som klarar detta så får ni gärna höra av er. Jag letar fortfarande.

Att skapa prov och frågor

  • Många olika typer av frågor
    • Flerval
    • Enval
    • Kort/lång text
    • Fyll i
    • Para ihop
  • Automatisk rättning av även korttextsvar
    • Flera möjliga svar
    • Formateringsalternativ
      • Ignorera versaler/gemener
      • Ignorera mellanslag
      • Skilj inte mellan punkt och komma
      • Plocka ut numeriskt värde ut textsträng
    • Möjlighet till olika poäng och feedback för olika svarsalternativ
  • Ekvationseditor inbyggd för både läraren och eleven (Socrative har enkla formateringsverktyg men inte för svaren som eleven ger)
  • Möjlighet till flera bilder och länkar i frågan
  • Möjlighet att dela både svarsalternativ, frågor och prov
  • Möjlighet att sätta parametrar som ändras slumpvis för olika elever, t.ex. multiplikationstester: 10 frågor av typen a x b där a och b är heltal mellan 3 och 12.

Rättning

  • Anonymisering
  • Rätta en fråga i taget
  • Rätta en elev i taget
  • Distribuera rättning av vissa frågor eller vissa elever till andra – både lärare och elever
  • Enkel-klicks-rättning: Anpassningsbara knappar som vid klick ger en viss poäng och/eller en viss färg på vissa matrisrutor och/eller en viss kommentar, t.ex. ”Du har avrundat för mycket i en deluträkning så svaret har för dålig precision”. Dessa kommentarer är givetvis både anpassningsbara och delningsbara så att man kan dela med sig av kommentarbankar.
  • Möjlighet att markera delar av texten i olika färger och ge kommentarer i texten.
  • Möjlighet att ge fria och fasta kommentarer både per svarsalternativ, per fråga och på provet som helhet.
  • Möjligt att läsa in texter från ordbehandlare i systemet så att eleven kan skriva i Word och sedan ladda upp uppsatsen / provet i systemet för rättning

Kontroll

  • Tidskontroll av när provet görs
  • Elevkontroll av vem som skriver det
  • Stavningskontroll om man vill ha det
  • Både tillgängligt on-line och off-line
  • Möjligt att köra på dator, platta och telefon
  • Programkontroll som låser bort andra program och fönster men tillåter program som definieras i en lista (att använda DigiExam fungerar inte när man vill att eleverna ska få ha tillgång till GeoGebra under provet).
  • Träningsläge med slumpvisa frågor från frågebankar
  • Givetvis möjlighet att exportera frågor, svar och resultat i t.ex. SCORM-standard.

Den som hittar ett verktyg åt mig som klarar detta eller mer, eller som jag i alla fall blir nöjd med, bjuder jag gladeligen på middag och hittelön!

 

Sinusseminariet i Oslo

P1120372Jag fick förmånen att tala på den årliga, två dagar långa förlagsträff för matematiklärare som förlaget Cappelen Damm kallar Sinusseminariet. Där ligger fokus på fortbildning i matematikdidaktik, ämneskunskaper och IKT.

Torsdagskvällen började med att Markus Hohenwarter som är GeoGebras grundare talade om hur GeoGebra lagt upp sin strategi för att överleva de senaste årens teknikskifte med smarta telefoner och plattor och hur de arbetat internt med att säkerställa att de kan fortsätta att överleva framtida teknikskiften. Han presenterade GeoGebras grafräknare för smarta telefoner och GeoGebras nya Exam-mode som låter läraren kontrollera att eleven enbart arbetat i GeoGebra under en provsituation.P1120365

Efter det var det min tur. Jag gjorde en rundvandring i olika sätt att arbeta med IKT i matematikklassrummet och tog bland annat upp användandet av skärminspelningar (screencasting) och video, feedbacksystem, symbolisk algebra, finesser i Excel, GeoGebra och hur man kan jobba med modelleringsuppgifter i undervisningen. Efter det blev det middag och barhäng med Markus, andra lärare, förläggare och författare.

P1120338

Nästa dag talade två norska lärare, Egil Reidar Osnes och Mette Elise Valsgård Bratlie om kompetenser, kollegialt samarbete och undervisning av nyanlända. Norska matematiklärare verkar inte vara så inställda på kollegialt samarbete ännu och jag tror att matematiklyftet verkligen har hjälpt till att få fart på det i Sverige. Å andra sidan är de norska lärarna mycket mer vana vid att använda GeoGebra i undervisningen, särskilt CAS då symbolisk algebra ingår i deras slutexamen. GeoGebra nämns även vid namn i deras läroplan och en hel del läroböcker har med exempel och uppgifter där GeoGebra ingår.

Markus talade sedan igen, denna gång om GeoGebras forum och GeoGebraböcker och hur man kan arbeta kollaborativt i GeoGebra. GeoGebra har introducerat ”följare” vilket gör att ditt GeoGebrakonto börjar fungera som ett socialt nätverk. Det finns även GeoGebraGrupper där man kan skapa klasser och ge dem uppgifter i GeoGebra eller som automaträttade flervalsfrågor etc. I grupper kan elever spara direkt i gruppen och läraren kommer då åt elevernas material.

P1120350

Efter lunch pratade Inger Bergkastet om stöttning av elever och lärare inom ämnet, pedagogiskt och socialt och hon gav många goda tips om vikten av att arbeta systematiskt på skolnivå med ett stöttande klimat. Den viktigaste frågan för eleverna, säger hon, är ”Tycker läraren om mig”. Om inte svaret är ja på den frågan kommer ingen undervisning att fungera.

Hon tog också upp idéer kring bland annat en inledande startuppgift i början på varje lektion som alla bör klara och som kan knyta an från förra lektionen till nästa eller träna viktiga ord i styrdokumenten, eller idéer kring lektionsrytmen och den välplanerade lektionen, exit-tickets, feedback från elever till lärare etc. Hon avslutade med vikten av att ständigt utvärdera sin egen lärandepraktik.

Avslutningsvis fick jag tillfälle att berätta om mitt arbete med differentialekvationer där vi låter datorn lösa ekvationerna och vi fokuserar på problemformulering och analys av lösningarna. På det här sättet kan vi gå längre än traditionellt och studera intressanta system av flera differentialekvationer som t.ex. Lotka-Volterras ekvationer. Inte nog med det, eleverna lär sig även att själva formulera system av differentialekvationer från intressanta egna problem.

P1120369

Föreläsningarna blev filmade. Filmer, presentationsfiler och screencasts kommer att läggas upp på Cappelen Damms webbplats. Länkar kommer men tills vidare kan du rota runt i följande dropboxmapp. Håll till godo.

 

No hands up

No hands up är en metod som används för att slumpa fram elever, som till exempel, ska svara på en fråga. Fördelen med detta är att man skapar ett engagerande klassrumsklimat där det blir svårare för elever att utveckla undvikandestrategier. Man tillåter helt enkelt inte elever att räkna med att läraren inte ska fråga dem så länge de inte räcker upp handen. Detta gör eleverna mer koncentrerade på lektionen och gör så att de anstränger sig mer för att faktiskt ha något att svara.

För läraren har detta flera fördelar. Denne behöver inte oroa sig för att i högre utsträckning ge ordet till en viss grupp elever. Till exempel så finns det många studier som visar på att vi tillåter manliga elever att uppta mer av talutrymmet än kvinnliga. Men det är också vanligt att man frågar de elever som ivrigast håller upp handen eller de som man vet ger ett bra svar. Detta i sin tur ger eleverna som inte tror att de har ett bra svar möjlighet att tänka på annat än det som pågår i undervisningen.

Man skulle kunna tro att de flesta elever inte tycker om den här metoden. Att de skulle tycka att det är jobbigt att bli utpekad om man inte hade ett bra svar. Mina erfarenheter är dock det motsatta. De flesta elever verkar uppskatta metoden. Den enda elev som har uttryckt ett missnöje var en pojke som normalt sett alltid satt med handen i vädret. Jag tror verkligen att eleverna uppskattar att alla i klassrummet har möjlighet att få komma till tals och att allas svar är lika mycket värda. Det handlar inte om att peka ut det som inte kan utan om att ge alla möjlighet att visa att de kan saker.

Det viktigaste att tänka på att tänka på när man använder metoden är att skapa ett tillåtande klassrumsklimat där det är helt accepterat att inte kunna.

Traditionellt sett så har metoden genomförts med glasspinnar eller kort, med elevernas namn på som läraren sedan drar slumpvis. Jag har dock aldrig riktigt lyckats med att skapa sådana pinnar eller kort. Mina hantverksmässiga kunskaper räcker helt enkelt inte. Först så använde jag en webbapplikation som heter Random name picker där man skriver in elevernas namn och där dessa sedan slumpas fram. Namnen sparas på en unik länk som man kan lägga som bokmärke i sin webbläsare.

Random name picker

Skapa din egen Random name picker här:

Nu har jag faktiskt hittat ett ännu bättre program. Det är ett freeware-program som heter NTI randomizer och är skrivet av Itlararen, Jesper Nilsson. Man lägger in sina elever i en txt-fil och kan därefter slumpa fram ett namn ur denna. En annan fördel med programmet är att man på en milliesekund kan slumpa fram gruppindelningar. Detta är ett mycket användbart alternativ till att räkna in grupper eller att lotta på annat sätt. Vill man så kan man använda programmet till att slumpa fram i stort sett vad som helst.

Zip-filen med programmet laddar du ned härifrån. Därefter packar du upp den någonstans på din dator och dubbelklickar på filen: setup.

En instruktionsfilm för programmet finns på itlararen.se

Att modellera en zombieapokalyps i Ma5

Hur löser vi problem i matematiken? Inte sällan handlar det om att hitta samband och ställa upp ekvationer, vars lösningar representerar svaret till problemet. I matematik 5 – den sista, frivilliga kursen på gymnasiet – handlar dessa samband ofta om förändringshastigheter, och de ekvationer man då får kallas differentialekvationer. Dessa har traditionellt ansetts vara svåra både att formulera och lösa och därför hamnat i just den sista kursen, den som inte krävs av högskolorna vid antagningarna. De som går vidare med matematik på högskolorna kommer alltså att stöta på differentialekvationer ”från början” igen.

Jag kände alltså en viss frihet då jag planerade denna kurs i höstas. Specifikt så ville jag prova hur långt vi kunde komma i årskurs tre på natur och teknikprogrammet om vi lät datorerna utföra lösningarna av ekvationerna och i stället koncentrerade oss på att formulera differentialekvationer från problem och undersöka effekterna som de ingående parametrarna har på lösningarna. Eleverna skulle dessutom redovisa för varandra och tvingades ofta kommunicera med både mig och varandra kring problemen och deras lösningar. Problemformulering, analys, kommunikation och att kunna hantera teknologi är viktiga förmågor för framtiden och flera av dessa ingår ofta i begreppsplattformar som 21st century skills, Big five m.fl.

GeoGebra kan lösa differentialekvationer. Det är inte ett lika kraftfullt verktyg som Mathematica, eller Wolfram Alpha men har fördelen av att vi redan arbetat mycket i det verktyget, samt att det producerar dynamiska lösningar. Efter en introduktion där vi löser några enkla differentialekvationer för hand börjar vi arbeta med tankeverktyg för problemformulering.

Det första tankeverktyget vi introducerar är containerdiagrammet. Det innehåller en eller fler containrar, där varje container representerar en storhet, alltså till exempel ett visst antal, eller en viss mängd av något. Till och från och mellan dessa containrar går det pilar som representerar in- eller utflöden. Världens befolkning kan till exempel representeras av följande containerdiagram. Screen Shot 06-09-15 at 02.42 PM

Pilen som går in i containern representerar födslarna, och pilen ut ur containern representerar dödsfallen. Bredvid dessa pilar skriver vi upp våra antaganden, i matematisk form. b och d är här födelsetalet respektive dödstalet, antal födslar eller dödsfall per person och år, och N är befolkningens nuvarande storlek. Antagandena är i det här fallet att både antalet födslar och dödsfall är proportionella mot storleken på befolkningen, alltså att det till exempel föds 12 barn per tusen invånare och år oavsett befolkningens storlek.

Vårt nästa tankeverktyg representerar just detta. Genom att rita upp hur den relativa förändringen, N’/N, ser ut med avseende på befolkningen N eller tiden t får eleverna ett verktyg för att skapa mer komplicerade modeller. I det här fallet är N’/N = b – d konstant oavsett N eller t, vilket leder till att N(t) blir en exponentialfunktion. Men med containerdiagram och grafer över N’/N mot N eller t kan vi lätt tänka oss andra modeller. Kanske N’/N minskar med tiden? Eller kanske N’/N är som störst vid ett visst värde på befolkningen för att minska om N ändras. Eleverna kan här börja göra egna modeller som kan undersökas. Vilka antaganden bygger följande diagram på (befolkningsökningen minskar exponentiellt med tiden) och hur skulle differentialekvationen se ut? ( N‘ = 4et/4 · N ). Modellen används bland annat för att modellera Mexikos befolkning och ger lösningar som påminner om logistiska funktioner.

Screen Shot 06-09-15 at 03.32 PM

Screen Shot 06-09-15 at 02.41 PMVi kan också lätt lägga till fler containrar. En elev byggde följande modell för att simulera en föroreningsolycka i en sjö. Här har vi två containrar, en som representerar föroreningen i sjövattnet, S, och en som representerar det som deponeras till sjöbotten B. Från sjöbotten läcker det sedan långsamt tillbaka föroreningar till vattnet under lång tid.

Från detta diagram kan vi ställa upp ett system av differentialekvationer:

Screen Shot 06-09-15 at 03.03 PM

Traditionellt kan vi inte lösa dessa inom ramen för kurs 5 – i alla fall inte för hand – men med datorernas hjälp är det inte svårt. Lösningarna representeras som grafer vi kan läsa av. Dessa påverkas dynamiskt av värdena på de tre konstanterna som finns i modellen och eleverna kan nu undersöka på vilket sätt som de olika parametrarna påverkar lösningarna.

Eleverna fick ca 2 veckor på sig för helt fritt arbete kring en problemsamling där de skulle lösa några av de presenterade problemen, eller helst lösa modifierade varianter av problemen eller helt egna modeller. Det är nu som undervisningen blir som mest formativ i diskussionerna med och mellan eleverna. Genom att få tiden att stöta och blöta problemen får eleverna också tid att få bra feedback av mig under tiden som arbetet fortgår.

Under detta arbete var det en hel del elever som tog till sig teknikerna riktigt bra. De satte med lätthet upp olika modeller med många olika containrar och kunde fritt diskutera hur dessa skulle kunna förändras för att bli mer realistiska. Klassen fick vid redovisningarna bland annat se exempel på modeller av slaget vid Themopyle (illustrerat i filmen ”300”) och olika modeller av zombieapokalypser. Här är en ”realistisk” modell där en vanlig sjukdom utvecklas till en där 10% av de infekterade blir zombies som dock kan botas.

Screen Shot 06-09-15 at 03.21 PM

I detta fall så överlevde ca 100 miljoner av USA’s (alla zombieapokalypser utspelas i USA) 350 miljoner invånare.

Screen Shot 06-09-15 at 03.18 PM

En elev sammanfattade arbetet och framför allt de nyvunna insikterna så här:

”Jag får huvudvärk av alla möjligheter man får med differentialekvationer. Det går ju att göra vad som helst. ”

Jag tror dessa elever kommer att vara väl förberedda för högskolan, men nästa gång ska jag planera så att denna del av kursen inte kommer precis i slutet med allt vad deadlines och betyg innebär. Jag skulle vilja introducera ett varv med kamratbedömning också efter de löst sitt första problem för att bättre kunna gå vidare till nästa. Jag skulle också vilja samla de bästa eleverna och se vad de skulle kunna göra i en större grupp tillsammans.

Man skulle kunna invända att vi rationaliserat bort procedurförmågan: eleverna får ju inte lära sig att lösa annat än de enklaste differentialekvationerna för hand? Det är sant, men de får träna på andra procedurer, till exempel att lära sig hantera moderna tekniska hjälpmedel. Dessutom tror jag inte det är någon som idag klagar på att vi inte längre beräknar kvadratrötter för hand. Det finns helt enkelt både roligare och viktigare saker att göra. Att räkna på zombieapokalypser till exempel.