Var är robotarna?

Ibland är det skönt att komma hem. Hem till sin egen säng, sin egen kudde och katternas försiktiga tramp på täcket. Men det kan också vara skönt att komma hem till sin egen undervisningskultur.

Efter flera dagar på BETT-mässan i London, där jag bl.a. ledde några guidade turer åt andra medlemmar på DIU’s resa, återkom jag med blandade intryck. Jag visste redan innan jag åkte att det var ett kommersens tempel jag skulle beträda, men det var också en brittisk mässa, med allt som det innebär.

Jag är själv brittisk medborgare, även om jag är född och uppvuxen i Sverige, och har bott där i perioder av mitt liv. Det som jag alltid upplevt som den subtila, men fundamentala skillnaden mellan våra båda kulturer är i relationerna mellan motsatserna. Det är i alla fall min upplevelse att vi i Sverige försöker samarbete mellan gränser. Lärare och elever, anställda och arbetsgivare, föräldrar och barn samarbetar för att uppnå det gemensamma goda. Det är klart det finns undantag, men jag upplever ändå att det finns en grundläggande vilja att sträva åt det hållet här. Inte så i England. Omedelbart som barnet kommer hem från BB finns en strävan att fjärma sig det, ge det ett eget rum, i bästa fall skicka det till internatskola. Väl i skolsystemet är formalia som skoluniform och titlar viktigare än den äkta respekten som duktiga lärare trots allt kan få, men som många aldrig når till på grund av de inneboende motsättningarna mellan dessa båda poler. I arbetslivet är det mycket tydligt ven som är chef och vem som är anställd. Mellanchefer heter managers, ditsatta för att hantera, manage, personalen eftersom den inte antas kunna sköta sig själv utan att riskera jobbet. Låt oss inte gå in på överklass och underklass här, men tro mig, dessa motsättningar mellan olika nivåer genomsyrar deras undermedvetna.

Det här kommer till uttryck även i BETT-mässan givetvis. Jag är väldigt glad att vi inte behöver fundera på att köpa in digital behaviour management tools till våra skolor i Sverige för att med olika poängsystem kontrollera våra elevers beteenden. På samma sätt är jag glad att våra plattformar i alla fall ibland försöker göra det möjligt att publicera innehåll till alla i hela världen, och inte som de engelska, skryter med hur nedlåsta (isolationistiska?) och säkra de är.

På sitt sätt påminde BETT mig om den årliga marknaden i Norrtälje med stånd där godis, leksaker och skämtartiklar bjuds ut, ofta flera gånger av olika stånd, men till samma pris. Jag saknade eftertanken, att faktiskt fundera på vad man vill genomföra och åstadkomma, innan alla rusar till försäljarna för att pröva de senaste VR-glasögonen, arduino-kopiorna och programmerbara robotarna. Hur gör vi något på riktigt och på ett kostnadseffektivt sätt som gagnar eleverna under lång tid framöver?

p1190090

Microsoft Maker Space – Förverkliga din idé med hjälp av ett rum där du kan arbeta med både programmering och limpistol. Men hur mycket kostar det i längden att ha ett resurscenter utan klar bild av hur det ska användas på ett hållbart sätt. Det gäller att tänka till först.

Jag saknade också en del saker. Eftersom mässan är kommersiell och gratis för besökare får företagen betala stora summor för att stå där. Då filtreras vissa aktörer bort, t.ex. GeoGebra, som håller på att transformera matematikundervisningen helt gratis i över 200 länder. Sedan önskar jag att utvecklingen går snabbare. Mitt tema på guidningarna var robotar i alla former. De finns som bilar, humanoider och drönare, javisst, men var är krabborna, bina och myrorna? Var är nanorobotarna, och programvaran som klarar av att låta oss styra svärmar av robotar för att t.ex. städa skolans korridorer eller utforska grottor som är för små att gå in i själv? Och var är 3D-skrivarna som gör fungerande kretskort eller färdiga myrrobotar? Mycket av det här är inte science fiction längre utan existerar i olika experimentella modeller på universitet, men det behöver plockas upp av företagen som jobbar mot skolor och privatpersoner.

Jag behöver myrrobotar till att göra ren min astroturfmatta i hallen. Nu!

Bråda dagar på höstlovet

Senast hördes jag i LR’s lärarpodd och sågs i nyhetsmorgons inslag om undervisning via robotar eller avatarer. Nu har du chansen att se och höra mig igen under höstlovet.


Foto: DIU

Klockan 11 kommer jag att stå på östra scenen på Skolforum på Stockholmsmässan i Älvsjö tillsammans med de båda andra finalisterna till Guldäpplet för att få reda på vem av oss som blir den officiella vinnaren av detta prestigefyllda pris som bland annat Datorn i utbildningen och lärarfacken står bakom. På sätt och vis är vi ju alla vinnare – vi får varsitt guldäpple, får följa med på samma mässor och resor etc – men vinnaren kommer givetvis att väga tyngre i medias ögon. Klockan 14-16 är vi med på en paneldebatt där vi delar med oss av våra erfarenheter.

Innan dess, klockan 10.00 kommer jag att medverka vid LR’s monter C08:10 där jag kommer att prata om vår matematiska guldålder, de verktyg vi kan använda oss av såsom GeoGebra och hur vi kan arbeta med eleverna för att utveckla dem till deras fulla potential. Dagen till ära avslutar vi med en matematisk zombieapokalyps.

screen-shot-10-30-16-at-06-35-pm

Under tisdagen är jag inte på skolmässan, men håller i ett webbinarium på Microsoft klockan 12.45-13.30. Märkligt nog har jag inte hittat någon länk dit ännu men jag postar den så fort jag får tag på den. Webbinariet handlar om både Teach Reach (du vet, roboten…), intern lärarfortbildning och digitala verktyg i matematikklassrummet – främst då GeoGebra förstås.

Välkommen!

Teach Reach till Kina

– I am a teacher from Beijing in China, sade Ms Xin till eleverna i Na16. Hon hade hörlurar och satt framför sin dator i ett arbetsrum i sin skola och skypade med oss. Hennes huvud syntes på surfplattan som satt monterad överst på den specialbyggda roboten som vi döpt till MS-D2.teachreach-4

Att plocka in andra lärare i klassrummet är i och för sig inget nytt. Efter att ha sett inslaget på TV4:s Nyhetsmorgon så SMS:ade min moster från arkeologiska institutionen i Uppsala och sade att de har en stående videolänk mellan Visby och Uppsala  och ibland plockar in någon på Skype från Egypten. För föreläsningar och helklassdiskussioner fungerar ju detta redan utmärkt utan robot, så vad tillför den egentligen?

teach-reach-nyhetsmorgon

Låt oss för ett ögonblick tänka oss att tekniken hunnit bli billig, lättanvänd och transparent, precis som SMS, ordbehandlare och digitalkameror blivit idag. Då skulle vi kunna uppnå det som kallas telepresence, fjärnärvaro. Det är i själva mötet mellan lärare och elev som själva magin – inlärningen – uppstår. Genom att vara just närvarande och interagerande kan en lärare i Kina lära mina elever det som hon har som specialitet bättre än vad jag skulle kunna göra det.

I slutet på oktober ska jag undervisa Ms Xins elever. Då lär det bli undersökningar i mitt favoritlaboratorium: GeoGebra. Exakt vad är givetvis upp till Ms Xin att avgöra, det ska ju vara något för hennes elever.

screen-shot-10-06-16-at-09-42-am

Klicka på bilden för att pröva själv

Språket då? I Skype översätts en mening i taget. Allt blir givetvis inte perfekt, vid ett tillfälle då Ms Xin bad mig bläddra till nästa sida i presentationen blev det ”Please invite the teacher to dinner the next page”. Meningen går fram men alla ord blir inte rätt. Mina elever lärde sig trots detta faktiskt något om andragradsekvationer som de inte kunde förut, och de tyckte det var spännande. Närvaron av en annan lärare har ju oftast den effekten och när den andra läraren är i form av en robot blir det givetvis extra spännande. När känslor är inblandade blir inlärningen bättre.

Roboten bör dock utvecklas mer. Den behöver få bättre rörlighet, fler kameror och måste kunna peka på både böcker och skärmar. Men låt inte det här avhålla dig från att redan idag bjuda in andra lärare i klassrummet, fysiskt eller via Skype eller annan videolänk, istället för att jämföra våra skolor med Pisa-resultat.

teachers

Ms Xin tar inte över min undervisning. Jag bjuder in henne för att ge mina elever något utöver det jag själv ger dem. Vårt samarbete kan dessutom leda till att även jag lär mig något, vilket är grunden i all min undervisning. För det är väl det som ordet lärare betyder?

Guldäpplet 2016

Webbknapp2016_418x101

 

 

Två av Rodengymnasiets lärare har oberoende av varandra nominerats till Guldäpplet, En utmärkelse som bland annat Datorn i utbildningen samt lärarfacken står bakom. Priset delas ut till lärare som förnyat undervisningen med stöd av IT, arbetar inkluderande och bidragit till kollegernas kompetensutveckling genom att dela med sig av sina idéer och erfarenheter.

Jonas Hall

Jonas Hall är förstelärare i matematik, fysik och astronomi. Han är en av Sveriges ledande experter på GeoGebra och har förutom flera artiklar i Nämnaren skrivit en bok om matematisk modellering med GeoGebra som även översatts till engelska.

Vem är du och vad jobbar du med?
Jag är en produkt av vår tids lyckosamma giftermål mellan matematik och digital teknik. Jag vill ge eleverna de verktyg som de behöver ha för att kunna hantera vår moderna matematiska värld och därigenom ta sig längre än vad de annars skulle kunna göra utan tillgång till digitala verktyg. Vi arbetar så gott som dagligen i GeoGebra som är ett matematiskt laboratorium för dynamiska interaktiva undersökningar. Det är ett program som används i över 200 länder och är översatt till över 50 språk. Jag är själv ansvarig för den svenska supporten.

På vilket sätt kan elevernas lärande förnyas med hjälp av IT?
Genom att låta datorerna ta hand om det de är bra på – beräkningar och visualiseringar – så frigörs tid så att eleverna kan gå djupare och längre i matematiken. Det är dessutom orimligt att undervisa utan digitala hjälpmedel i dag om man vill ha ett klassrum synkroniserat med samtiden. Visualiseringar, filmer och simuleringar av matematiska modeller utgör en stark bas att bygga förståelse ifrån.

Hur ser du på din lärarroll och hur inkluderar du alla elever i ditt lärande med IT?
Genom att använda flera verktyg än bara lärobok och lärare får eleverna fler ingångar till matematiken. Genom att själv använda fler verktyg kan jag lyssna på eleverna på fler sätt och få mer nyanserad kunskap om elevernas behov. Genom verktygen blir också matematiken modern och intressant vilket får eleverna att bli aktivare.

IMG_1258

Jonas Gustafsson är förstelärare i samhällskunskap och företagsekonomi. Han är Microsoft Innovative Educator Expert och har representerat Roden-gymnasiet i internationella sammanhang. Under 2015 deltog han på Educator Exchange, E2, i Seattle USA.

Vem är du och vad jobbar du med?
Jag är en nyfiken person som ivrigt engagerar mig i olika aktiviteter. Tennis, löpträning, båtliv och skärgård ligger mig varmt om hjärtat. Jag är gymnasielärare i samhällskunskap och företagsekonomi och när eleverna och jag får göra lärandet tillsammans mår jag som allra bäst. Det är underbart att vara lärare! En av mina arbetsuppgifter som förstelärare är att i kollegahandledning utveckla IKT-baserad undervisning med hjälp av Microsofts Office 365. Sedan hösten 2014 har jag ingått i lärarnätverket Microsoft Innovative Educator Expert.

På vilket sätt kan elevernas lärande förnyas med hjälp av IT?
IT är basen för att samla information som vi kan koka ner till kunskaper. Vi är uppdaterade med både det dagsaktuella och det som ligger bakåt i tiden. Vi kan jämföra källorna och se vad som har hänt. Det ger oss möjlighet att också finna vägen till framtiden. Vi blir Up to future!

Hur ser du på din lärarroll och hur inkluderar du alla elever i ditt lärande med IT?
Eftersom jag arbetar mycket med att eleverna ska vara varandras lärare – sharing is caring – behövs det en smidig plattform som ger alla elever tillgång till transparens. Med OneNote ser de elever som behöver extra anpassningar många exempel på vägen mot målen. Den har medfört att eleverna har blivit mer involverade i upplägg, genomförande och utvärderingar av kurserna. Eleverna har utvecklat sin digitala kompetens under åren i så hög grad att de till slut blir mina medlärare för att organisera, leda och följa upp olika lektionspass. Microsofts OneNote Class Notebook gör att vi kan dela med oss av varandras uppgifter och är enkel att använda tillsammans med andra applikationer. Det är som om hela världen blir vårt klassrum!

Webbknapp2016_418x101

Sinusseminariet i Oslo

P1120372Jag fick förmånen att tala på den årliga, två dagar långa förlagsträff för matematiklärare som förlaget Cappelen Damm kallar Sinusseminariet. Där ligger fokus på fortbildning i matematikdidaktik, ämneskunskaper och IKT.

Torsdagskvällen började med att Markus Hohenwarter som är GeoGebras grundare talade om hur GeoGebra lagt upp sin strategi för att överleva de senaste årens teknikskifte med smarta telefoner och plattor och hur de arbetat internt med att säkerställa att de kan fortsätta att överleva framtida teknikskiften. Han presenterade GeoGebras grafräknare för smarta telefoner och GeoGebras nya Exam-mode som låter läraren kontrollera att eleven enbart arbetat i GeoGebra under en provsituation.P1120365

Efter det var det min tur. Jag gjorde en rundvandring i olika sätt att arbeta med IKT i matematikklassrummet och tog bland annat upp användandet av skärminspelningar (screencasting) och video, feedbacksystem, symbolisk algebra, finesser i Excel, GeoGebra och hur man kan jobba med modelleringsuppgifter i undervisningen. Efter det blev det middag och barhäng med Markus, andra lärare, förläggare och författare.

P1120338

Nästa dag talade två norska lärare, Egil Reidar Osnes och Mette Elise Valsgård Bratlie om kompetenser, kollegialt samarbete och undervisning av nyanlända. Norska matematiklärare verkar inte vara så inställda på kollegialt samarbete ännu och jag tror att matematiklyftet verkligen har hjälpt till att få fart på det i Sverige. Å andra sidan är de norska lärarna mycket mer vana vid att använda GeoGebra i undervisningen, särskilt CAS då symbolisk algebra ingår i deras slutexamen. GeoGebra nämns även vid namn i deras läroplan och en hel del läroböcker har med exempel och uppgifter där GeoGebra ingår.

Markus talade sedan igen, denna gång om GeoGebras forum och GeoGebraböcker och hur man kan arbeta kollaborativt i GeoGebra. GeoGebra har introducerat ”följare” vilket gör att ditt GeoGebrakonto börjar fungera som ett socialt nätverk. Det finns även GeoGebraGrupper där man kan skapa klasser och ge dem uppgifter i GeoGebra eller som automaträttade flervalsfrågor etc. I grupper kan elever spara direkt i gruppen och läraren kommer då åt elevernas material.

P1120350

Efter lunch pratade Inger Bergkastet om stöttning av elever och lärare inom ämnet, pedagogiskt och socialt och hon gav många goda tips om vikten av att arbeta systematiskt på skolnivå med ett stöttande klimat. Den viktigaste frågan för eleverna, säger hon, är ”Tycker läraren om mig”. Om inte svaret är ja på den frågan kommer ingen undervisning att fungera.

Hon tog också upp idéer kring bland annat en inledande startuppgift i början på varje lektion som alla bör klara och som kan knyta an från förra lektionen till nästa eller träna viktiga ord i styrdokumenten, eller idéer kring lektionsrytmen och den välplanerade lektionen, exit-tickets, feedback från elever till lärare etc. Hon avslutade med vikten av att ständigt utvärdera sin egen lärandepraktik.

Avslutningsvis fick jag tillfälle att berätta om mitt arbete med differentialekvationer där vi låter datorn lösa ekvationerna och vi fokuserar på problemformulering och analys av lösningarna. På det här sättet kan vi gå längre än traditionellt och studera intressanta system av flera differentialekvationer som t.ex. Lotka-Volterras ekvationer. Inte nog med det, eleverna lär sig även att själva formulera system av differentialekvationer från intressanta egna problem.

P1120369

Föreläsningarna blev filmade. Filmer, presentationsfiler och screencasts kommer att läggas upp på Cappelen Damms webbplats. Länkar kommer men tills vidare kan du rota runt i följande dropboxmapp. Håll till godo.

 

Idéer till hösten

Det är nu det är dags att börja fundera på vilka förändringar som ska ske till nästa år och utvärdera de förändringar man genomfört detta år. Några veckor efter påsklovet kommer majstressen med nationella prov, avslutande av projekt, en exploderande våraktivitet och fågelkvitter i hjärnan. Då hinner man sällan planera inför hösten och i augusti är det nästan för sent.

Nej, det är nu det ska ske. Skriv en lista på goda idéer, förändringar, ambitioner och tänk igenom vad som krävs för ett bra genomförande. Gör en plan, informera kollegorna och beställ grejorna. Prata med schemaläggaren och snacka till dig projekttid i din tjänst.

Här är några idéer ”off the top of my head”:

  • Gör en plan för hur ni ska prata om studieteknik på mentorstiden med stöd av UR’s materiel Orka plugga.  Hitta gärna på övningar som klasserna kan göra för att pröva tipsen i filmerna.
    Orka plugga
  • Börja jobba mot negativa attityder till matematik på de program där det förekommer. Skapa ett åtgärdspaket i laget och arbeta stenhårt under höstterminen i ettan. Se gärna Mattecentrums effektrapport för en del inspiration. Kanske jobba för att undersöka vad attityderna beror på i stället för att bara anta något.
  • Planera in datum för projektansökningar i kalendern så du inte missar något datum, t.ex. denna.
  • Sök upp en kollega som har en teknisk kompetens som du inte behärskar ännu och lär dig den så att du kan använda den i höst. Det kanske handlar om att skaffa ett lärarkonto på Facebook bara för att kunna delta i de gruppdiskussioner som förs i ämnet, både i Sverige och internationellt, eller det kan vara hur du skapar ett Youtubekonto och använder Screencast-o-matic för att skapa korta skärmgenomgångar (du slipper synas i rutan) av olika moment i din undervisning (jag använder det för att skapa beskrivningar av hur man använder GeoGebra för att lösa matematikproblem), eller du kanske vill lära dig hur du använder Socrative, Mentimeter, Kahoot eller något annat verktyg för klassrumsfeedback, eller kanske du bara vill lära dig att skriva kortare meningar.
  • Skaffa en personlig laminator, skriv ut snygga, instruktiva, roliga och/eller uppmuntrande bilder och dekorera ett klassrum utifrån ditt ämne. Uppmuntra kollegorna att göra samma sak utifrån deras ämnen, i de andra klassrummen.

    (från Bowman Dickinson, det finns flera…)
  • Bestäm dig för att ta kontroll över dina bokmärken. Varje gång du hittar en bra sida ska den in på rätt ställe i din bokmärkssamling. Strukturera mappar för ämnen och kurser och moment. På så sätt kan du lätt kopiera länkar till elevernas planeringar sedan. Ha väldigt korta namn på mapparna så får du plats med många bredvid varandra i bokmärkesfältet. Aldrig mera glömma en adress!
    Screen Shot 03-24-16 at 11.28 AM

Vad du än bestämmer dig för att göra:

  • Gör en skriftlig planering för din egen del
  • Dokumentera: Fota, anteckna, blogga…
  • Ta med kollegorna och dela idéerna och resultaten
  • Ha kul!

Det som krävs (lÄ5lY4t3t)

Jag har just skrivit klart en bok. Det vill säga, det är samma bok som sist, men jag har just översatt den klart till engelska, strukturerat om innehållet, gjort om alla diagram och lagt till lite nytt material. Det vill säga, det är ju inte riktigt klart ännu, men första manuset är inlämnat i alla fall.

Så här gör jag ibland!

The Bookworm

Det är ganska mycket pyssel med att skriva en bok. Det krävs struktur och flit och förmågan att ”pusha” – att trycka bort allt annat och bara se till att få det gjort. Jag vet, det tillkommer korrekturfixande och indexskapande och annat smått och gott men det mesta gjorde jag trots allt klart för ett par timmar sedan. Det känns befriande.

Men jag undrar hur många som kommer att läsa den. Det är sant; det är en handbok, knappast gjord för att läsas från pärm till pärm, men ändå avsedd att läsas på djupet; ett stycke i taget, och jag undrar…

Vi har läst för alla våra barn tills ögonlocken fallit och vi upprepat meningarna tre gånger och till slut somnat med dem. Vårt hem är så fullt av böcker att jag tillämpar Extended Living (Compact Living är för amatörer) och har hälften av mina böcker på jobbet. Vi diskuterar böcker och både uppmuntrar och kräver av dem att de läser, men jag undrar ändå…

Jag hade faktiskt aldrig lagt märke till detta förrän jag skrev detta inlägg.

Böcker är sensuella och kärleksfulla

Jag ser att 10-åringen, den yngsta, är ganska motvillig till att läsa och att det bara är 22-åringen, den äldsta, som önskar sig böcker i julklapp.

Jag ser att skolans SF-bibliotek på naturvetenskapsprogrammet (ett exempel på vad Extended Living kan åstadkomma) lånat ut två böcker under 2015, men 15-20 böcker under 2008.

Jag hör eleverna på naturvetenskapsprogrammet klaga på att läroböckerna är svåra att förstå.

Jag ser sällan ungdomar läsa tidningen. De säger att de får reda på nyheter snabbare via de nya medierna – vilket är sant, jag är själv där och vet hur det fungerar – men jag undrar ändå…

Jag undrar var de djupa analyserna kommer in. Jag undrar var den riktigt djupa förståelsen och förmågan att läsa mellan raderna ska utvecklas. Jag undrar var framtidens författare, debattören, analytiker och skribenter gömmer sig.

Det är tidens tecken säger du. Men en vind kan bli en orkan och på hösten behöver vi se om vårt hus.

Andra medier tar över en del funktioner säger du. Men historien visar vad som händer om vi berövar folk sin historia och litteratur.

Det är inte så farligt, de som behöver kommer att lära sig läsa bra, men de flesta behöver inte läsa på djupet, säger du. Men det är oerhört farligt att börja vandra på en väg som leder till vi och dom. Se hur det redan ser ut omkring oss idag.

Det här var för länge sedan - Nu är det mycket mer :-)

Matematikbibliotek

Jag är därför väldigt glad att Rodengymnasiet så fort som möjligt tar sig an skolverkets senaste satsning; Läslyftet. Uppbyggt på samma sätt som Matematiklyftet med öppna moduler och kollegialt samarbete med handledare tar det ett samlat grepp om läsningens betydelse i alla ämnen, från låga åldrar till gymnasiet. Bara för att eleverna läser sämre nu än förr måste det inte vara så, och skolan har här, som så ofta annars, en stor roll – kanske den största – att fylla. Vi har inget att tjäna på att låta svaga elever kämpa själva med svåra texter. De behöver hjälp och det är vår plikt och vårt uppdrag att hjälpa dem, oavsett vilket ämne vi undervisar.

För om jag ska lära dig matematik, måste du först kunna läsa.

Att modellera en zombieapokalyps i Ma5

Hur löser vi problem i matematiken? Inte sällan handlar det om att hitta samband och ställa upp ekvationer, vars lösningar representerar svaret till problemet. I matematik 5 – den sista, frivilliga kursen på gymnasiet – handlar dessa samband ofta om förändringshastigheter, och de ekvationer man då får kallas differentialekvationer. Dessa har traditionellt ansetts vara svåra både att formulera och lösa och därför hamnat i just den sista kursen, den som inte krävs av högskolorna vid antagningarna. De som går vidare med matematik på högskolorna kommer alltså att stöta på differentialekvationer ”från början” igen.

Jag kände alltså en viss frihet då jag planerade denna kurs i höstas. Specifikt så ville jag prova hur långt vi kunde komma i årskurs tre på natur och teknikprogrammet om vi lät datorerna utföra lösningarna av ekvationerna och i stället koncentrerade oss på att formulera differentialekvationer från problem och undersöka effekterna som de ingående parametrarna har på lösningarna. Eleverna skulle dessutom redovisa för varandra och tvingades ofta kommunicera med både mig och varandra kring problemen och deras lösningar. Problemformulering, analys, kommunikation och att kunna hantera teknologi är viktiga förmågor för framtiden och flera av dessa ingår ofta i begreppsplattformar som 21st century skills, Big five m.fl.

GeoGebra kan lösa differentialekvationer. Det är inte ett lika kraftfullt verktyg som Mathematica, eller Wolfram Alpha men har fördelen av att vi redan arbetat mycket i det verktyget, samt att det producerar dynamiska lösningar. Efter en introduktion där vi löser några enkla differentialekvationer för hand börjar vi arbeta med tankeverktyg för problemformulering.

Det första tankeverktyget vi introducerar är containerdiagrammet. Det innehåller en eller fler containrar, där varje container representerar en storhet, alltså till exempel ett visst antal, eller en viss mängd av något. Till och från och mellan dessa containrar går det pilar som representerar in- eller utflöden. Världens befolkning kan till exempel representeras av följande containerdiagram. Screen Shot 06-09-15 at 02.42 PM

Pilen som går in i containern representerar födslarna, och pilen ut ur containern representerar dödsfallen. Bredvid dessa pilar skriver vi upp våra antaganden, i matematisk form. b och d är här födelsetalet respektive dödstalet, antal födslar eller dödsfall per person och år, och N är befolkningens nuvarande storlek. Antagandena är i det här fallet att både antalet födslar och dödsfall är proportionella mot storleken på befolkningen, alltså att det till exempel föds 12 barn per tusen invånare och år oavsett befolkningens storlek.

Vårt nästa tankeverktyg representerar just detta. Genom att rita upp hur den relativa förändringen, N’/N, ser ut med avseende på befolkningen N eller tiden t får eleverna ett verktyg för att skapa mer komplicerade modeller. I det här fallet är N’/N = b – d konstant oavsett N eller t, vilket leder till att N(t) blir en exponentialfunktion. Men med containerdiagram och grafer över N’/N mot N eller t kan vi lätt tänka oss andra modeller. Kanske N’/N minskar med tiden? Eller kanske N’/N är som störst vid ett visst värde på befolkningen för att minska om N ändras. Eleverna kan här börja göra egna modeller som kan undersökas. Vilka antaganden bygger följande diagram på (befolkningsökningen minskar exponentiellt med tiden) och hur skulle differentialekvationen se ut? ( N‘ = 4et/4 · N ). Modellen används bland annat för att modellera Mexikos befolkning och ger lösningar som påminner om logistiska funktioner.

Screen Shot 06-09-15 at 03.32 PM

Screen Shot 06-09-15 at 02.41 PMVi kan också lätt lägga till fler containrar. En elev byggde följande modell för att simulera en föroreningsolycka i en sjö. Här har vi två containrar, en som representerar föroreningen i sjövattnet, S, och en som representerar det som deponeras till sjöbotten B. Från sjöbotten läcker det sedan långsamt tillbaka föroreningar till vattnet under lång tid.

Från detta diagram kan vi ställa upp ett system av differentialekvationer:

Screen Shot 06-09-15 at 03.03 PM

Traditionellt kan vi inte lösa dessa inom ramen för kurs 5 – i alla fall inte för hand – men med datorernas hjälp är det inte svårt. Lösningarna representeras som grafer vi kan läsa av. Dessa påverkas dynamiskt av värdena på de tre konstanterna som finns i modellen och eleverna kan nu undersöka på vilket sätt som de olika parametrarna påverkar lösningarna.

Eleverna fick ca 2 veckor på sig för helt fritt arbete kring en problemsamling där de skulle lösa några av de presenterade problemen, eller helst lösa modifierade varianter av problemen eller helt egna modeller. Det är nu som undervisningen blir som mest formativ i diskussionerna med och mellan eleverna. Genom att få tiden att stöta och blöta problemen får eleverna också tid att få bra feedback av mig under tiden som arbetet fortgår.

Under detta arbete var det en hel del elever som tog till sig teknikerna riktigt bra. De satte med lätthet upp olika modeller med många olika containrar och kunde fritt diskutera hur dessa skulle kunna förändras för att bli mer realistiska. Klassen fick vid redovisningarna bland annat se exempel på modeller av slaget vid Themopyle (illustrerat i filmen ”300”) och olika modeller av zombieapokalypser. Här är en ”realistisk” modell där en vanlig sjukdom utvecklas till en där 10% av de infekterade blir zombies som dock kan botas.

Screen Shot 06-09-15 at 03.21 PM

I detta fall så överlevde ca 100 miljoner av USA’s (alla zombieapokalypser utspelas i USA) 350 miljoner invånare.

Screen Shot 06-09-15 at 03.18 PM

En elev sammanfattade arbetet och framför allt de nyvunna insikterna så här:

”Jag får huvudvärk av alla möjligheter man får med differentialekvationer. Det går ju att göra vad som helst. ”

Jag tror dessa elever kommer att vara väl förberedda för högskolan, men nästa gång ska jag planera så att denna del av kursen inte kommer precis i slutet med allt vad deadlines och betyg innebär. Jag skulle vilja introducera ett varv med kamratbedömning också efter de löst sitt första problem för att bättre kunna gå vidare till nästa. Jag skulle också vilja samla de bästa eleverna och se vad de skulle kunna göra i en större grupp tillsammans.

Man skulle kunna invända att vi rationaliserat bort procedurförmågan: eleverna får ju inte lära sig att lösa annat än de enklaste differentialekvationerna för hand? Det är sant, men de får träna på andra procedurer, till exempel att lära sig hantera moderna tekniska hjälpmedel. Dessutom tror jag inte det är någon som idag klagar på att vi inte längre beräknar kvadratrötter för hand. Det finns helt enkelt både roligare och viktigare saker att göra. Att räkna på zombieapokalypser till exempel.

 

GeoGebra i Matematikundervisningen

Efter att ha sett på den förmörkade solen bakom molnen (det såg lite sämre ut än så här) och därefter upplevt totaliteten på Svalbard genom livesändningen på nätet var Ma3-lektionen idag så gott som slut. En del gick på lunch, andra fortsatte att arbeta med inlämningsuppgiften de hållit på med i två veckor i GeoGebra, parallellt med övrig undervisning.

IMAG0334

Uppgiften handlar om att hitta optimalt pris och maximal vinst för en tänkt fiskodling. Eleverna använder GeoGebra för att definiera funktioner, rita grafer, hitta maximum och utföra stabilitetstester på olika parametrar genom att göra numeriska deriveringar. Som vanligt är en del enklare och en del svårare. Många elever ber om hjälp, och de är i dessa samtal som jag riktigt kommer deras kunskaper nära och ser att deras begreppsuppfattning utvecklas.

IMAG0335

”Tekniska” uppgifter av typen ”beräkna f(g(x))” för olika funktioner f och g blir här fullt naturliga när eleverna först formulerar olika utbudsfunktioner, A(x) där x är priset och Antal(x) anger antalet köpta fiskar till ett givet pris, och sedan formulerar intäkterna I(x) = A(xx som antalet sålda fiskar multiplicerat med priset.  Uppgifter kring grafritning som en gång formulerats i en tid utan grafritande digitala hjälpmedel byts ut mot diskussioner om vad som finns på axlarna, vad de lätt uppritade graferna representerar och hur sambanden mellan funktionerna egentligen fungerar.

Screen Shot 15-03-20 at 08.31 PM

Skärmbild från elevlösning av fiskodlingsuppgiften i GeoGebra

Att arbeta med modellering som inlämningsuppgifter parallellt med övrig undervisning har flera fördelar. Eleverna far arbeta med svårare och mer realistiska övningar. De lär känna verktygen ordentligt så att de känner att de behärskar dem och får dem ”med sig” efter de slutar skolan. Jag får bättre förståelse för deras kunskaper och vilka deras svårigheter är och vi arbetar med alla förmågorna på en gång: begrepp, procedurer, problemlösning, modellering, resonemang, kommunikation och relevans.

IMAG0337

GeoGebra är ett underbart verktyg för detta. Jag använder det i stort sett dagligen – både själv och tillsammans med eleverna. Jag vill att eleverna ska kunna lösa uppgifter både med GeoGebra och utan, och vi tränar både och. Vissa uppgifter blir busenkla med GeoGebra men å andra sidan kan vi med GeoGebra attackera problem vi inte skulle kunnat klara av utan verktyg. I Ma5 kommer i vår att studera system av ickelinjära differentialekvationer och hur de formuleras, vad lösningarna betyder och hur parametrarna påverkar lösningarna. Själva lösandet är en teknisk procedur som ska läras in, men det är inte där fokus ligger.

IMAG0338

Som biträdande föreståndare för Svenska GeoGebrainstitutet agerar jag ”ständig sekreterare”. Jag sköter den svenska supporten för programmet via Facebookgruppen ”GeoGebrasupport på svenska”, ansvarar för Svenska GeoGebrainstitutets webbplats och hanterar den löpande översättningen av programmet till svenska. Tillsammans med Institutets föreståndare, Thomas Lingefjärd från Göteborgs universitet, har jag skrivit artiklar i Nämnaren och i höstas kom vår bok om modellering med GeoGebra ut. Vi är med i internationella samarbeten kring forskning om och spridning av GeoGebra men uppenbarligen gör vi ändå inte tillräckligt. I Norge och Danmark – där de har slutexamen på hela matematikämnet där eleverna måste behärska symbolhanterande digitala hjälpmedel – i praktiken GeoGebra – är användandet ca 10 gånger högre än i Sverige.

I Sverige har GeoGebra laddats ned ca 80 000 gånger på datorer och 10 000 gånger på plattor. Det fungerar som ett slags mått på antalet installationer. I Norge är samma siffra 540 000 + 50 000 och i Danmark 780 000 + 80 000. På internationella konferenser är svenskar i minoritet. Siffrorna kommer från Internationella GeoGebrainstitutet, IGI.

Vad kan vi göra för att levandegöra den digitala sidan av matematiken i Sverige så att den inte bara blir två veckor med Excel på slutet av kursen? Hur kan jag stötta Sveriges lärare i att internalisera de digitala verktyg som finns tillgängliga? Ge mig förslag, och jag lovar att genomföra alla som är rimliga och som jag hinner med utöver min undervisning. Ett kan jag lova dig: Om du börjar använda GeoGebra så får du livstids support på det. Det är mer än du får på Excel.

Jonas Hall/The Mad Mathematician