Sinusseminariet i Oslo

P1120372Jag fick förmånen att tala på den årliga, två dagar långa förlagsträff för matematiklärare som förlaget Cappelen Damm kallar Sinusseminariet. Där ligger fokus på fortbildning i matematikdidaktik, ämneskunskaper och IKT.

Torsdagskvällen började med att Markus Hohenwarter som är GeoGebras grundare talade om hur GeoGebra lagt upp sin strategi för att överleva de senaste årens teknikskifte med smarta telefoner och plattor och hur de arbetat internt med att säkerställa att de kan fortsätta att överleva framtida teknikskiften. Han presenterade GeoGebras grafräknare för smarta telefoner och GeoGebras nya Exam-mode som låter läraren kontrollera att eleven enbart arbetat i GeoGebra under en provsituation.P1120365

Efter det var det min tur. Jag gjorde en rundvandring i olika sätt att arbeta med IKT i matematikklassrummet och tog bland annat upp användandet av skärminspelningar (screencasting) och video, feedbacksystem, symbolisk algebra, finesser i Excel, GeoGebra och hur man kan jobba med modelleringsuppgifter i undervisningen. Efter det blev det middag och barhäng med Markus, andra lärare, förläggare och författare.

P1120338

Nästa dag talade två norska lärare, Egil Reidar Osnes och Mette Elise Valsgård Bratlie om kompetenser, kollegialt samarbete och undervisning av nyanlända. Norska matematiklärare verkar inte vara så inställda på kollegialt samarbete ännu och jag tror att matematiklyftet verkligen har hjälpt till att få fart på det i Sverige. Å andra sidan är de norska lärarna mycket mer vana vid att använda GeoGebra i undervisningen, särskilt CAS då symbolisk algebra ingår i deras slutexamen. GeoGebra nämns även vid namn i deras läroplan och en hel del läroböcker har med exempel och uppgifter där GeoGebra ingår.

Markus talade sedan igen, denna gång om GeoGebras forum och GeoGebraböcker och hur man kan arbeta kollaborativt i GeoGebra. GeoGebra har introducerat ”följare” vilket gör att ditt GeoGebrakonto börjar fungera som ett socialt nätverk. Det finns även GeoGebraGrupper där man kan skapa klasser och ge dem uppgifter i GeoGebra eller som automaträttade flervalsfrågor etc. I grupper kan elever spara direkt i gruppen och läraren kommer då åt elevernas material.

P1120350

Efter lunch pratade Inger Bergkastet om stöttning av elever och lärare inom ämnet, pedagogiskt och socialt och hon gav många goda tips om vikten av att arbeta systematiskt på skolnivå med ett stöttande klimat. Den viktigaste frågan för eleverna, säger hon, är ”Tycker läraren om mig”. Om inte svaret är ja på den frågan kommer ingen undervisning att fungera.

Hon tog också upp idéer kring bland annat en inledande startuppgift i början på varje lektion som alla bör klara och som kan knyta an från förra lektionen till nästa eller träna viktiga ord i styrdokumenten, eller idéer kring lektionsrytmen och den välplanerade lektionen, exit-tickets, feedback från elever till lärare etc. Hon avslutade med vikten av att ständigt utvärdera sin egen lärandepraktik.

Avslutningsvis fick jag tillfälle att berätta om mitt arbete med differentialekvationer där vi låter datorn lösa ekvationerna och vi fokuserar på problemformulering och analys av lösningarna. På det här sättet kan vi gå längre än traditionellt och studera intressanta system av flera differentialekvationer som t.ex. Lotka-Volterras ekvationer. Inte nog med det, eleverna lär sig även att själva formulera system av differentialekvationer från intressanta egna problem.

P1120369

Föreläsningarna blev filmade. Filmer, presentationsfiler och screencasts kommer att läggas upp på Cappelen Damms webbplats. Länkar kommer men tills vidare kan du rota runt i följande dropboxmapp. Håll till godo.

 

Att modellera en zombieapokalyps i Ma5

Hur löser vi problem i matematiken? Inte sällan handlar det om att hitta samband och ställa upp ekvationer, vars lösningar representerar svaret till problemet. I matematik 5 – den sista, frivilliga kursen på gymnasiet – handlar dessa samband ofta om förändringshastigheter, och de ekvationer man då får kallas differentialekvationer. Dessa har traditionellt ansetts vara svåra både att formulera och lösa och därför hamnat i just den sista kursen, den som inte krävs av högskolorna vid antagningarna. De som går vidare med matematik på högskolorna kommer alltså att stöta på differentialekvationer ”från början” igen.

Jag kände alltså en viss frihet då jag planerade denna kurs i höstas. Specifikt så ville jag prova hur långt vi kunde komma i årskurs tre på natur och teknikprogrammet om vi lät datorerna utföra lösningarna av ekvationerna och i stället koncentrerade oss på att formulera differentialekvationer från problem och undersöka effekterna som de ingående parametrarna har på lösningarna. Eleverna skulle dessutom redovisa för varandra och tvingades ofta kommunicera med både mig och varandra kring problemen och deras lösningar. Problemformulering, analys, kommunikation och att kunna hantera teknologi är viktiga förmågor för framtiden och flera av dessa ingår ofta i begreppsplattformar som 21st century skills, Big five m.fl.

GeoGebra kan lösa differentialekvationer. Det är inte ett lika kraftfullt verktyg som Mathematica, eller Wolfram Alpha men har fördelen av att vi redan arbetat mycket i det verktyget, samt att det producerar dynamiska lösningar. Efter en introduktion där vi löser några enkla differentialekvationer för hand börjar vi arbeta med tankeverktyg för problemformulering.

Det första tankeverktyget vi introducerar är containerdiagrammet. Det innehåller en eller fler containrar, där varje container representerar en storhet, alltså till exempel ett visst antal, eller en viss mängd av något. Till och från och mellan dessa containrar går det pilar som representerar in- eller utflöden. Världens befolkning kan till exempel representeras av följande containerdiagram. Screen Shot 06-09-15 at 02.42 PM

Pilen som går in i containern representerar födslarna, och pilen ut ur containern representerar dödsfallen. Bredvid dessa pilar skriver vi upp våra antaganden, i matematisk form. b och d är här födelsetalet respektive dödstalet, antal födslar eller dödsfall per person och år, och N är befolkningens nuvarande storlek. Antagandena är i det här fallet att både antalet födslar och dödsfall är proportionella mot storleken på befolkningen, alltså att det till exempel föds 12 barn per tusen invånare och år oavsett befolkningens storlek.

Vårt nästa tankeverktyg representerar just detta. Genom att rita upp hur den relativa förändringen, N’/N, ser ut med avseende på befolkningen N eller tiden t får eleverna ett verktyg för att skapa mer komplicerade modeller. I det här fallet är N’/N = b – d konstant oavsett N eller t, vilket leder till att N(t) blir en exponentialfunktion. Men med containerdiagram och grafer över N’/N mot N eller t kan vi lätt tänka oss andra modeller. Kanske N’/N minskar med tiden? Eller kanske N’/N är som störst vid ett visst värde på befolkningen för att minska om N ändras. Eleverna kan här börja göra egna modeller som kan undersökas. Vilka antaganden bygger följande diagram på (befolkningsökningen minskar exponentiellt med tiden) och hur skulle differentialekvationen se ut? ( N‘ = 4et/4 · N ). Modellen används bland annat för att modellera Mexikos befolkning och ger lösningar som påminner om logistiska funktioner.

Screen Shot 06-09-15 at 03.32 PM

Screen Shot 06-09-15 at 02.41 PMVi kan också lätt lägga till fler containrar. En elev byggde följande modell för att simulera en föroreningsolycka i en sjö. Här har vi två containrar, en som representerar föroreningen i sjövattnet, S, och en som representerar det som deponeras till sjöbotten B. Från sjöbotten läcker det sedan långsamt tillbaka föroreningar till vattnet under lång tid.

Från detta diagram kan vi ställa upp ett system av differentialekvationer:

Screen Shot 06-09-15 at 03.03 PM

Traditionellt kan vi inte lösa dessa inom ramen för kurs 5 – i alla fall inte för hand – men med datorernas hjälp är det inte svårt. Lösningarna representeras som grafer vi kan läsa av. Dessa påverkas dynamiskt av värdena på de tre konstanterna som finns i modellen och eleverna kan nu undersöka på vilket sätt som de olika parametrarna påverkar lösningarna.

Eleverna fick ca 2 veckor på sig för helt fritt arbete kring en problemsamling där de skulle lösa några av de presenterade problemen, eller helst lösa modifierade varianter av problemen eller helt egna modeller. Det är nu som undervisningen blir som mest formativ i diskussionerna med och mellan eleverna. Genom att få tiden att stöta och blöta problemen får eleverna också tid att få bra feedback av mig under tiden som arbetet fortgår.

Under detta arbete var det en hel del elever som tog till sig teknikerna riktigt bra. De satte med lätthet upp olika modeller med många olika containrar och kunde fritt diskutera hur dessa skulle kunna förändras för att bli mer realistiska. Klassen fick vid redovisningarna bland annat se exempel på modeller av slaget vid Themopyle (illustrerat i filmen ”300”) och olika modeller av zombieapokalypser. Här är en ”realistisk” modell där en vanlig sjukdom utvecklas till en där 10% av de infekterade blir zombies som dock kan botas.

Screen Shot 06-09-15 at 03.21 PM

I detta fall så överlevde ca 100 miljoner av USA’s (alla zombieapokalypser utspelas i USA) 350 miljoner invånare.

Screen Shot 06-09-15 at 03.18 PM

En elev sammanfattade arbetet och framför allt de nyvunna insikterna så här:

”Jag får huvudvärk av alla möjligheter man får med differentialekvationer. Det går ju att göra vad som helst. ”

Jag tror dessa elever kommer att vara väl förberedda för högskolan, men nästa gång ska jag planera så att denna del av kursen inte kommer precis i slutet med allt vad deadlines och betyg innebär. Jag skulle vilja introducera ett varv med kamratbedömning också efter de löst sitt första problem för att bättre kunna gå vidare till nästa. Jag skulle också vilja samla de bästa eleverna och se vad de skulle kunna göra i en större grupp tillsammans.

Man skulle kunna invända att vi rationaliserat bort procedurförmågan: eleverna får ju inte lära sig att lösa annat än de enklaste differentialekvationerna för hand? Det är sant, men de får träna på andra procedurer, till exempel att lära sig hantera moderna tekniska hjälpmedel. Dessutom tror jag inte det är någon som idag klagar på att vi inte längre beräknar kvadratrötter för hand. Det finns helt enkelt både roligare och viktigare saker att göra. Att räkna på zombieapokalypser till exempel.