Att modellera en zombieapokalyps i Ma5

Hur löser vi problem i matematiken? Inte sällan handlar det om att hitta samband och ställa upp ekvationer, vars lösningar representerar svaret till problemet. I matematik 5 – den sista, frivilliga kursen på gymnasiet – handlar dessa samband ofta om förändringshastigheter, och de ekvationer man då får kallas differentialekvationer. Dessa har traditionellt ansetts vara svåra både att formulera och lösa och därför hamnat i just den sista kursen, den som inte krävs av högskolorna vid antagningarna. De som går vidare med matematik på högskolorna kommer alltså att stöta på differentialekvationer ”från början” igen.

Jag kände alltså en viss frihet då jag planerade denna kurs i höstas. Specifikt så ville jag prova hur långt vi kunde komma i årskurs tre på natur och teknikprogrammet om vi lät datorerna utföra lösningarna av ekvationerna och i stället koncentrerade oss på att formulera differentialekvationer från problem och undersöka effekterna som de ingående parametrarna har på lösningarna. Eleverna skulle dessutom redovisa för varandra och tvingades ofta kommunicera med både mig och varandra kring problemen och deras lösningar. Problemformulering, analys, kommunikation och att kunna hantera teknologi är viktiga förmågor för framtiden och flera av dessa ingår ofta i begreppsplattformar som 21st century skills, Big five m.fl.

GeoGebra kan lösa differentialekvationer. Det är inte ett lika kraftfullt verktyg som Mathematica, eller Wolfram Alpha men har fördelen av att vi redan arbetat mycket i det verktyget, samt att det producerar dynamiska lösningar. Efter en introduktion där vi löser några enkla differentialekvationer för hand börjar vi arbeta med tankeverktyg för problemformulering.

Det första tankeverktyget vi introducerar är containerdiagrammet. Det innehåller en eller fler containrar, där varje container representerar en storhet, alltså till exempel ett visst antal, eller en viss mängd av något. Till och från och mellan dessa containrar går det pilar som representerar in- eller utflöden. Världens befolkning kan till exempel representeras av följande containerdiagram. Screen Shot 06-09-15 at 02.42 PM

Pilen som går in i containern representerar födslarna, och pilen ut ur containern representerar dödsfallen. Bredvid dessa pilar skriver vi upp våra antaganden, i matematisk form. b och d är här födelsetalet respektive dödstalet, antal födslar eller dödsfall per person och år, och N är befolkningens nuvarande storlek. Antagandena är i det här fallet att både antalet födslar och dödsfall är proportionella mot storleken på befolkningen, alltså att det till exempel föds 12 barn per tusen invånare och år oavsett befolkningens storlek.

Vårt nästa tankeverktyg representerar just detta. Genom att rita upp hur den relativa förändringen, N’/N, ser ut med avseende på befolkningen N eller tiden t får eleverna ett verktyg för att skapa mer komplicerade modeller. I det här fallet är N’/N = b – d konstant oavsett N eller t, vilket leder till att N(t) blir en exponentialfunktion. Men med containerdiagram och grafer över N’/N mot N eller t kan vi lätt tänka oss andra modeller. Kanske N’/N minskar med tiden? Eller kanske N’/N är som störst vid ett visst värde på befolkningen för att minska om N ändras. Eleverna kan här börja göra egna modeller som kan undersökas. Vilka antaganden bygger följande diagram på (befolkningsökningen minskar exponentiellt med tiden) och hur skulle differentialekvationen se ut? ( N‘ = 4et/4 · N ). Modellen används bland annat för att modellera Mexikos befolkning och ger lösningar som påminner om logistiska funktioner.

Screen Shot 06-09-15 at 03.32 PM

Screen Shot 06-09-15 at 02.41 PMVi kan också lätt lägga till fler containrar. En elev byggde följande modell för att simulera en föroreningsolycka i en sjö. Här har vi två containrar, en som representerar föroreningen i sjövattnet, S, och en som representerar det som deponeras till sjöbotten B. Från sjöbotten läcker det sedan långsamt tillbaka föroreningar till vattnet under lång tid.

Från detta diagram kan vi ställa upp ett system av differentialekvationer:

Screen Shot 06-09-15 at 03.03 PM

Traditionellt kan vi inte lösa dessa inom ramen för kurs 5 – i alla fall inte för hand – men med datorernas hjälp är det inte svårt. Lösningarna representeras som grafer vi kan läsa av. Dessa påverkas dynamiskt av värdena på de tre konstanterna som finns i modellen och eleverna kan nu undersöka på vilket sätt som de olika parametrarna påverkar lösningarna.

Eleverna fick ca 2 veckor på sig för helt fritt arbete kring en problemsamling där de skulle lösa några av de presenterade problemen, eller helst lösa modifierade varianter av problemen eller helt egna modeller. Det är nu som undervisningen blir som mest formativ i diskussionerna med och mellan eleverna. Genom att få tiden att stöta och blöta problemen får eleverna också tid att få bra feedback av mig under tiden som arbetet fortgår.

Under detta arbete var det en hel del elever som tog till sig teknikerna riktigt bra. De satte med lätthet upp olika modeller med många olika containrar och kunde fritt diskutera hur dessa skulle kunna förändras för att bli mer realistiska. Klassen fick vid redovisningarna bland annat se exempel på modeller av slaget vid Themopyle (illustrerat i filmen ”300”) och olika modeller av zombieapokalypser. Här är en ”realistisk” modell där en vanlig sjukdom utvecklas till en där 10% av de infekterade blir zombies som dock kan botas.

Screen Shot 06-09-15 at 03.21 PM

I detta fall så överlevde ca 100 miljoner av USA’s (alla zombieapokalypser utspelas i USA) 350 miljoner invånare.

Screen Shot 06-09-15 at 03.18 PM

En elev sammanfattade arbetet och framför allt de nyvunna insikterna så här:

”Jag får huvudvärk av alla möjligheter man får med differentialekvationer. Det går ju att göra vad som helst. ”

Jag tror dessa elever kommer att vara väl förberedda för högskolan, men nästa gång ska jag planera så att denna del av kursen inte kommer precis i slutet med allt vad deadlines och betyg innebär. Jag skulle vilja introducera ett varv med kamratbedömning också efter de löst sitt första problem för att bättre kunna gå vidare till nästa. Jag skulle också vilja samla de bästa eleverna och se vad de skulle kunna göra i en större grupp tillsammans.

Man skulle kunna invända att vi rationaliserat bort procedurförmågan: eleverna får ju inte lära sig att lösa annat än de enklaste differentialekvationerna för hand? Det är sant, men de får träna på andra procedurer, till exempel att lära sig hantera moderna tekniska hjälpmedel. Dessutom tror jag inte det är någon som idag klagar på att vi inte längre beräknar kvadratrötter för hand. Det finns helt enkelt både roligare och viktigare saker att göra. Att räkna på zombieapokalypser till exempel.

 

GeoGebra i Matematikundervisningen

Efter att ha sett på den förmörkade solen bakom molnen (det såg lite sämre ut än så här) och därefter upplevt totaliteten på Svalbard genom livesändningen på nätet var Ma3-lektionen idag så gott som slut. En del gick på lunch, andra fortsatte att arbeta med inlämningsuppgiften de hållit på med i två veckor i GeoGebra, parallellt med övrig undervisning.

IMAG0334

Uppgiften handlar om att hitta optimalt pris och maximal vinst för en tänkt fiskodling. Eleverna använder GeoGebra för att definiera funktioner, rita grafer, hitta maximum och utföra stabilitetstester på olika parametrar genom att göra numeriska deriveringar. Som vanligt är en del enklare och en del svårare. Många elever ber om hjälp, och de är i dessa samtal som jag riktigt kommer deras kunskaper nära och ser att deras begreppsuppfattning utvecklas.

IMAG0335

”Tekniska” uppgifter av typen ”beräkna f(g(x))” för olika funktioner f och g blir här fullt naturliga när eleverna först formulerar olika utbudsfunktioner, A(x) där x är priset och Antal(x) anger antalet köpta fiskar till ett givet pris, och sedan formulerar intäkterna I(x) = A(xx som antalet sålda fiskar multiplicerat med priset.  Uppgifter kring grafritning som en gång formulerats i en tid utan grafritande digitala hjälpmedel byts ut mot diskussioner om vad som finns på axlarna, vad de lätt uppritade graferna representerar och hur sambanden mellan funktionerna egentligen fungerar.

Screen Shot 15-03-20 at 08.31 PM

Skärmbild från elevlösning av fiskodlingsuppgiften i GeoGebra

Att arbeta med modellering som inlämningsuppgifter parallellt med övrig undervisning har flera fördelar. Eleverna far arbeta med svårare och mer realistiska övningar. De lär känna verktygen ordentligt så att de känner att de behärskar dem och får dem ”med sig” efter de slutar skolan. Jag får bättre förståelse för deras kunskaper och vilka deras svårigheter är och vi arbetar med alla förmågorna på en gång: begrepp, procedurer, problemlösning, modellering, resonemang, kommunikation och relevans.

IMAG0337

GeoGebra är ett underbart verktyg för detta. Jag använder det i stort sett dagligen – både själv och tillsammans med eleverna. Jag vill att eleverna ska kunna lösa uppgifter både med GeoGebra och utan, och vi tränar både och. Vissa uppgifter blir busenkla med GeoGebra men å andra sidan kan vi med GeoGebra attackera problem vi inte skulle kunnat klara av utan verktyg. I Ma5 kommer i vår att studera system av ickelinjära differentialekvationer och hur de formuleras, vad lösningarna betyder och hur parametrarna påverkar lösningarna. Själva lösandet är en teknisk procedur som ska läras in, men det är inte där fokus ligger.

IMAG0338

Som biträdande föreståndare för Svenska GeoGebrainstitutet agerar jag ”ständig sekreterare”. Jag sköter den svenska supporten för programmet via Facebookgruppen ”GeoGebrasupport på svenska”, ansvarar för Svenska GeoGebrainstitutets webbplats och hanterar den löpande översättningen av programmet till svenska. Tillsammans med Institutets föreståndare, Thomas Lingefjärd från Göteborgs universitet, har jag skrivit artiklar i Nämnaren och i höstas kom vår bok om modellering med GeoGebra ut. Vi är med i internationella samarbeten kring forskning om och spridning av GeoGebra men uppenbarligen gör vi ändå inte tillräckligt. I Norge och Danmark – där de har slutexamen på hela matematikämnet där eleverna måste behärska symbolhanterande digitala hjälpmedel – i praktiken GeoGebra – är användandet ca 10 gånger högre än i Sverige.

I Sverige har GeoGebra laddats ned ca 80 000 gånger på datorer och 10 000 gånger på plattor. Det fungerar som ett slags mått på antalet installationer. I Norge är samma siffra 540 000 + 50 000 och i Danmark 780 000 + 80 000. På internationella konferenser är svenskar i minoritet. Siffrorna kommer från Internationella GeoGebrainstitutet, IGI.

Vad kan vi göra för att levandegöra den digitala sidan av matematiken i Sverige så att den inte bara blir två veckor med Excel på slutet av kursen? Hur kan jag stötta Sveriges lärare i att internalisera de digitala verktyg som finns tillgängliga? Ge mig förslag, och jag lovar att genomföra alla som är rimliga och som jag hinner med utöver min undervisning. Ett kan jag lova dig: Om du börjar använda GeoGebra så får du livstids support på det. Det är mer än du får på Excel.

Jonas Hall/The Mad Mathematician